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Beim `!Thomson-Problem`! sollen `*n`* Elektronen so auf der Oberfläche einer `F33f`_`[Einheitskugel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einheitskugel]`_`f verteilt werden, dass das gesamte elektrostatische Potential, das sich durch die `F33f`_`[Coulombkraft`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Coulombsches_Gesetz]`_`f einstellt, sein Minimum annimmt. Der Physiker `F33f`_`[Joseph John Thomson`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Joseph_John_Thomson]`_`f formulierte dieses Problem 1904`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f], nachdem er sein `F33f`_`[Atommodell`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Thomsonsches_Atommodell]`_`f entwickelte.

Mathematisch ist es eines der `F33f`_`[Smale-Probleme`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Smale-Probleme]`_`f.

>>Contents

• `F0af`_`[Mathematische Beschreibung`#mathematische-beschreibung]`_`f

• `F0af`_`[Bekannte Lösungen`#bekannte-l-sungen]`_`f

• `F0af`_`[Verwandte wissenschaftliche Probleme`#verwandte-wissenschaftliche-probleme]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

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>>Mathematische Beschreibung

Das elektrostatische Potential U ( N ) {\\displaystyle U(N)} , das zwischen zwei Elektronen entsteht, kann mit dem `F33f`_`[coulombschen Gesetz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Coulombsches_Gesetz]`_`f beschrieben werden.

U i j ( N ) = k e e i e j r i j {\\displaystyle U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \\over r_{ij}}} .

Dabei sind e i {\\displaystyle e_{i}} und e j {\\displaystyle e_{j}} die `F33f`_`[Ladungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elementarladung]`_`f der Elektronen, k e {\\displaystyle k_{e}} ist die Coulombkonstante (gegeben durch 1 4 π π ε ε 0 {\\displaystyle {\\frac {1}{4\\pi \\varepsilon _{0}}}} ; ε ε 0 {\\displaystyle \\varepsilon _{0}} ist die `F33f`_`[elektrische Feldkonstante`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elektrische_Feldkonstante]`_`f) und r i j = | r i − − r j | {\\displaystyle r_{ij}=|\\mathbf {r} _{i}-\\mathbf {r} _{j}|} ist der Abstand der beiden Elektronen zueinander. Zur Vereinfachung des Problems können e i = e j = 1 {\\displaystyle e_{i}=e_{j}=1} und k e = 1 {\\displaystyle k_{e}=1} gesetzt werden.

Bei einer Konfiguration von N {\\displaystyle N} Elektronen stellt sich dann das Potential

U ( N ) = ∑ ∑ i < j 1 r i j {\\displaystyle U(N)=\\sum _{i<j}{\\frac {1}{r_{ij}}}} .

ein. Ziel ist es nun, diejenige Form zu finden, bei der dieses Gesamtpotential ein Minimum annimmt. Das Finden einer Lösung geschieht meist durch `F33f`_`[numerische Verfahren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Numerische_Verfahren]`_`f.

>>Bekannte Lösungen

• N = 1 {\\displaystyle N=1} : Für nur ein einziges Elektron ist die Lösung trivial, da sich, egal wo sich das Elektron auf der Kugeloberfläche befindet, immer dasselbe Potential einstellt.

• N = 2 {\\displaystyle N=2} : Bei zwei Elektronen ist das Potentialminimum dann vorhanden, wenn sie sich diametral gegenüber befinden (z. B. Nord- und Südpol).

• N = 3 {\\displaystyle N=3} : Bei drei Elektronen bildet die Konfiguration ein gleichseitiges Dreieck auf einem `F33f`_`[Großkreis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Großkreis]`_`f der Kugel.`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f]

• N = 4 {\\displaystyle N=4} : Die vier Elektronen bilden ein `F33f`_`[Tetraeder`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tetraeder]`_`f.

• N = 5 {\\displaystyle N=5} : Für fünf Elektronen wurde 2010 ein computergestützter Beweis erbracht, wonach diese eine dreieckige `F33f`_`[Bipyramide`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bipyramide]`_`f bilden.`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]

• N = 6 {\\displaystyle N=6} : Die sechs Elektronen bilden ein `F33f`_`[Oktaeder`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Oktaeder]`_`f.`:cite-ref-4[`F5bf`_`[4`#cite-note-4]`_`f]

• N = 12 {\\displaystyle N=12} : Diese Konfiguration bildet ein regelmäßiges `F33f`_`[Ikosaeder`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ikosaeder]`_`f.`:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f]

>>Verwandte wissenschaftliche Probleme

Das Problem von Thomson spielt eine Rolle in anderen physikalischen Modellen wie zum Beispiel Elektronenblasen oder die Oberflächenbeschaffenheit von flüssigen Metalltropfen in `F33f`_`[Paul-Fallen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Paul-Falle]`_`f.

>>Literatur

• Carlos Beltrán: `*The State of the Art in Smale's 7th Problem.`* In: `F33f`_`[Felipe Cucker`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Felipe_Cucker]`_`f, Teresa Krick, Allan Pinkus, Agnes Szanto (Hrsg.): `*Foundations of Computational Mathematics. Budapest 2011`* (= `*London Mathematical Society. Lecture Note Series.`* 403). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2013, ISBN 978-1-107-60407-0, S. 1–15.

• L. L. Whyte: `*Unique arrangements of points on a sphere.`* In: `*`F33f`_`[American Mathematical Monthly`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=American_Mathematical_Monthly]`_`f.`* Bd. 59, Nr. 9, 1952, S. 606–611, `F33f`_`[JSTOR`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=JSTOR]`_`f:2306764.

• Edward B. Saff, `F33f`_`[Arno B. J. Kuijlaars`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Arno_Kuijlaars]`_`f: `*Distributing many points on a sphere.`* In: `*`F33f`_`[The Mathematical Intelligencer`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=The_Mathematical_Intelligencer]`_`f.`* Bd. 19, Nr. 1, 1997, S. 5–11, doi:10.1007/BF03024331

>>Weblinks

• Interaktives Java-Applet zum Thomson-Problem

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Joseph J. Thomson: `*On the structure of the atom: an investigation of the stability and periods of oscillation of a number of corpuscles arranged at equal intervals around the circumference of a circle; with application of the results to the theory of atomic structure.`* In: `*The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science.`* Series 6, Bd. 7, Nr. 39, 1904, `F33f`_`[ZDB`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zeitschriftendatenbank]`_`f-ID 5450-1, S. 237–265, doi:10.1080/14786440409463107.

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f `F33f`_`[Ludwig Föppl`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ludwig_Föppl]`_`f: `*Stabile Anordnungen von Elektronen im Atom.`* In: `*`F33f`_`[Journal für die reine und angewandte Mathematik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Journal_für_die_reine_und_angewandte_Mathematik]`_`f.`* Bd. 141, 1912, S. 251–302, (Digitalisat).

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Richard Evan Schwartz: The 5 Electron Case of Thomson’s Problem. In: Mathematical Physics. 21. Januar 2010, `F33f`_`[arxiv`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=ArXiv]`_`f:1001.3702.

`:cite-note-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-4]`_`f V. A. Yudin: The minimum of potential energy of a System of point charges. In: Discrete Mathematics and Applications. Band 3, Nr. 1, 2009, S. 75–82, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1515/dma.1993.3.1.75.

`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f Nikolay N. Andreev: `*An extremal property of the icosahedron.`* In: `*East Journal on Approximations.`* Bd. 2, Nr. 4, 1996, `F33f`_`[ISSN`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Internationale_Standardnummer_für_fortlaufende_Sammelwerke]`_`f 1310-6236, S. 459–462, `F33f`_`[MR`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematical_Reviews]`_`f 97m:52022, `F33f`_`[Zbl`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zentralblatt_MATH]`_`f 0877.51021.

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